Тоже странно

[birdwatcher]

Пытаюсь заставить работать drag-and-drop с вращением и snap-to-grid. Оказывается, вращение по дискретным углам ничему не мешает, а snap-to-grid вдоль координат приводит к тому, что повернутые фигуры своими прямолинейными сегментами как следует не совмещаются.
Отсюда вопрос. Взаимно-иррациональные отрезки в планиметрии лезут отовсюду, а взаимно-иррациональных углов не видать, почему так?

Comments

[mi-b.livejournal.com]

Потому что геометрия - это про инварианты интересных групп преобразований. Представления конечных групп через симметрии и вращения приводят к кратности углов. А отрезки разные получаются как векторные разности, у которых нет причин быть кратной длины. Вместо этого кратны проекции отрезков на исходную решетку.

[birdwatcher.livejournal.com]

Меня удивила иррациональность (как в теореме Пифагора), а не просто некратность.

[mi-b.livejournal.com]

Рациональность=кратность общему делителю

[birdwatcher.livejournal.com]

это взаимная простота

[mi-b.livejournal.com]

?

[birdwatcher.livejournal.com]

Я имею в виду, что очень легко построить рядом отрезки длины 1 и sqrt(2), а как построить углы а и а*sqrt(2) я не знаю.

[mi-b.livejournal.com]

Да, я так и понял, и попробовал объяснить почему, получилось путано ;)

Sqrt(2) a угла построит из угла а нельзя почти никогда. Про это есть наука, ключевые слова quadratic closure of a field. Можно строить только углы, чьи синусы в квадратичном замыкании рациональных и синуса заданного угла а.

[mi-b.livejournal.com]

В отношении отрезков "не-иррациональность" = рациональное отношение длин, а это то же, что кратность общему

[mask-13.livejournal.com]

Вы хотите сказать, что угол в 1 радиан нельзя построить, сколько не прыгай с циркулем и линейкой?

[birdwatcher.livejournal.com]

Нет, это не так удивительно, отрезок в 1 см. тоже нельзя построить
"циркулем и линейкой". Я про то, что отрезок можно умножить на sqrt(2), а угол - нельзя. Причем не только циркулем и линейкой нельзя, а и вообще никогда ниоткуда не возникает.

[mask-13.livejournal.com]

1 радиан, это, все-таки, не такая условность, как 1 см. Это угол сектора окружности, в котором длина дуги равна радиусу. Он иррационален относительно углов типа 1 градуса - результатов деления огружности на целое число долей.

[birdwatcher.livejournal.com]

Да, действительно. Наверное, мой вопрос все-таки можно свести к циркулю и линейке.

[mi-b.livejournal.com]

Почти уверен, что нельзя и уверен, что способ неизвестен. Если бы sin 1 был бы в квадратичном расширении поля рациональных чисел, это было бы знаменитое соотношение